Торическая геометрия и топология даёт большое количество примеров многообразий с "нестандартными" комплексными структурами, т.е. некэлеровыми и даже не мойшезоновыми. Одним из основных классов таких примеров являются момент-угол-многообразия. Комплексное момент-угол-многообразие Z задаётся некоторым набором комбинаторно-геометрических данных, включающих полный симплициальный (но не обязательно рациональный) веер. В случае рациональных вееров многообразие Z является тотальным пространством голоморфного расслоения над торическим многообразием со слоем компактный комплексный тор. В этом случае инварианты комплексной структуры на Z, такие как когомологии Дольбо и числа Ходжа, могут быть описаны при помощи спектральной последовательности Бореля голоморфного расслоения.

В общем случае на комплексном момент-угол-многообразии Z имеется каноническое голоморфное слоение F, эквивариантное под действием алгебраического тора. Примеры момент-угол-многообразий включают многообразия Хопфа, Калаби-Экманна и их деформации. Пара (Z,F) из многообразия и голомофрного слоения служит моделью для иррациональных торических многообразий.

Геометрия многообразий Z и слоений F весьма интересна и нестандартна.

Основным инструментом для изучения геометрии комплексных момент-угол-многообразий Z является трансверсально кэлерова форма для слоения F. Такая форма существует при некоторых ограничениях на комбинаторные данные. Путём интегрирования трансверсально кэлеровой формы доказывается, что любое кэлерово подмногообразие в момент-угол-многообразии Z лежит в листе слоения F. Для общего момент-угол-многообразия Z в своём комбинаторном классе все его подмногообразия являются момент-угол-многообразиями меньшей размерности, а значит число их конечно. Это влечёт, в частности, что Z не допускает непостоянных мероморфных функций, т.е. его алгебраическая размерность равна нулю.

We give an introduction to solid modules in the sense of Clausen-Scholze, a good abelian category containing usual discrete modules as well as adic-like topological modules. We then explain some new features of algebraic geometry in the category of solid modules, in particular refined localizations. Finally, we explain how this "solid algebraic geometry" naturally produces a variant of the algebraic free loop space having good formal properties not enjoyed by the usual algebraic free loop space. This is joint work in progress with Grigory Konovalov.

Я расскажу про локальный аналог теоремы Делиня-Римана-Роха для линейных расслоений в относительной размерности 1. Части этого локального аналога теоремы Делиня-Римана-Роха состоят из центральных расширений групповой инд-схемы, которая есть полупрямое произведение группы обратимых функций на формальном проколотом диске и группы автоморфизмов этого диска. Эти центральные расширения - при помощи мультипликативной группы. Одно из этих центральных расширений строится внутренним образом, а другое - при помощи явных 2-коциклов.  Будет доказана эквивалентность этих центральных расширений после расширения скаляров для всех схем и инд-схем с кольца целых чисел до поля рациональных чисел. Доклад основан на работах: arXiv:2211.15932 и arXiv:2308.06049