Читаемые курсы и расписание
- Главная
- Читаемые курсы и расписание
Список курсов магистерской программы «Современная фундаментальная математика» в 2025-2026 учебном году:
Скоро появится.
Архив:
Алгебраическая геометрия
Лектор: Владимир Сергеевич Жгун
Занятия будут проходить по средам, ауд. 524 Арктика, с 13:55 до 15:20 (лекция) и с 15:30 до 16:55 (семинар), начало - 18.09.
Курс представляет собой введение в фундаментальные понятия и методы современной алгебраической геометрии: схемы, пучки и когомологии. Владение этими понятиями необходимо для изучения более специальных разделов алгебраической геометрии и её приложений. В первом разделе мы познакомимся с понятиями аффинного и проективного спектра кольца, общей схемы, когерентного пучка, пучка дифференциалов. Будут описаны конструкции относительного спектра и раздутия пучка идеалов. Затем мы определим когомологии Чеха пучка на схеме и изучим их основные свойства. С помощью них будут проделаны так называемые Серровские вычисления для когомологий обратимых пучков проективного пространства. С помощью них мы получим двойственность Серра для когомологий, играющую важнейшую роль в алгебраической геометрии.
Мы изучим различные типы морфизмов между схемами, такие как отделимые, собственные, конечные, плоские, гладкие этальные. Мы введем понятие плоского семейства многообразий и пучков на них, важного для теории деформаций, и укажем их важные когомологические свойства, например, постоянство многочлена Гильберта. Мы обсудим фундаментальную теорему о полунепрерывности размерности слоев морфизма и полунепрерывности размерностей групп когомологий в семействах многообразий. Также мы постараемся обсудить теорему Безу, теорему Бертини об общем гиперплоском сечении и теорию пересечений.
В заключительном разделе курса акцент будет сделан на теории торических алгебраических многообразий. С одной стороны, это ознакомит слушателя с одним из важнейших для приложений классов алгебраических многообразий, а с другой послужит конкретной и относительно несложной иллюстрацией общих понятий, изученных ранее.
Основная литература.
- Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия, М.: Мир, 1981.
- W. Fulton, Introduction to toric varieties, Princeton University Press, 1993.
Введение в современную алгебру I
Лектор: Дегтярев Денис Олегович
Занятия будут проходить по четвергам, ауд. ауд. 108 РТК, с 12:20 до 13:45 (лекция) и с 13:55 до 15:20 (семинар), начало - 12.09.
В курсе будет рассказано про основные понятия и методы в современной алгебре. Курс будет сопровождаться примерами и задачами для самостоятельного решения.
Примерная программа курса:
(Теория групп)
- Общие понятия теории групп: действие на множестве, орбиты, стабилизатор; подгруппы, классы смежности, классы сопряженности; гомоморфизм, ядро и образ, нормальная подгруппа. Основные теоремы: формула разложения на орбиты, следствия из нее, теоремы о гомоморфизме.
- Силовские подгруппы и теоремы Силова. Строение конечнопорожденных абелевых групп.
- Коммутант, разрешимая группа, условия (не) разрешимости. Пример с группами S_n и A_n.
- Теория представлений конечных групп: полная приводимость, лемма Шура, характеры, соотношение ортогональность, теорема Бернсайда.
(Кольца и модули)
- Общие понятия теории коммутативных колец: гомоморфизм, идеалы; делители нуля, локализация; факториальные кольца; нетеровость. Основные теоремы: существование максимальных идеалов, китайская теорема об остатках, факториальность кольца главных идеалов, теорема Гильберта.
- Модули: основные определения, операции с модулями (факторы, тензорное/внешнее/симметрическое произведения); теорема Жордана–Гельдера; модули над кольцом главных идеалов («жорданова нормальная форма»); полупростые кольца и их представления.
- Некоторые вспомогательные алгебраические конструкции: гомологии, группа Брауэра, кольцо Гротендика.
Основная литература
- С. Ленг, Алгебра, М.: Наука, 1965.
- И.Р. Шафаревич, Основные понятия алгебры, Алгебра – 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 11, ВИНИТИ, М., 1986, 5 – 279.
Дифференциальная геометрия
Лектор: Илья Вячеславович Каржеманов
Занятия будут проходить по пятницам, ауд. 412 ГК, с 10:45 до 12:10 (лекция) и с 12:20 до 13:45 (семинар), начало - 13.09.
В курсе будет рассказано про основные понятия и методы дифференциальной геометрии. Курс будет сопровождаться примерами и задачами для самостоятельного решения.
Примерная программа курса:
- Тензоры и основные операции над ними.
- Дифференциальные формы, их внешнее произведение и дифференцирование, оператор *.
- Векторные поля и производная Ли.
- Гладкие многообразия (базовые понятия и объекты) и касательное расслоение.
- Регулярные значения и теорема Сарда.
- Степень отображения: гомотопическая инвариантность и приложения к векторным полям.
- Дифференциальные формы на многообразиях.
- Понятие связности (на тензорах). Примеры вычисления.
- Риманова метрика и понятие параллельного переноса.
- Тензор кривизны. Вычисление в случае симметричной и согласованной с метрикой связности.
- Некоторые тождества для тензоров кривизны и кручения. Примеры вычисления.
- Геодезические. Их вариационный смысл.
- Интегрирование дифференциальных форм. Теорема Стокса.
- Лемма Пуанкаре.
- Цепной комплекс. Сингулярные гомологии. Эйлерова характеристика.
- Когомологии и двойственность Пуанкаре.
- Начала теории пучков. Теорема де Рама.
- Умножение в когомологиях. Теорема Кюннета. Интерпретация через дифференциальные формы.
- Понятие векторного расслоения и операции над ними.
- Главное расслоение. Связь с гомотопическими группами. Классификация расслоений.
- Связность и параллельный перенос в расслоениях.
- Кривизна связности. Классы Чжэня.
Теория особенностей алгебраических многообразий
Лектор: Дмитрий Анатольевич Степанов
Занятия будут проходить по четвергам, ауд. 108 РТК, с 13:55 до 15:20, начало - 12.09.
Курс посвящён теории особенностей алгебраических многообразий. С формально-локальной точки зрения гладкие точки алгебраических многообразий одинаковы, и наибольший интерес представляют точки, в которых гладкость нарушается, т. е. особые точки. Теория особенностей доставляют массу задач интересных как сами по себе, так и с точки зрения приложений к другим областям: классификации алгебраических многообразий, зеркальной симметрии и др. В данном курсе планируется познакомить слушателя со следующими аспектами теории особенностей.
Примерная программа курса:
- Топологическая и аналитическая теория: расслоение и слой Милнора, число Милнора, монодромия.
- Важные примеры: факторособенности по конечным группам, торические особенности, особенности, возникающие в программе минимальных моделей.
- Проблема разрешения особенностей: понятие раздутия, вложенное разрешение, разрешение особенностей алгебраических кривых и поверхностей.
Основная литература:
- Дж. Милнор, Особые точки комплексных гиперповерхностей, М.: Мир, 1971.
- J. Seade, On the topology of isolated singularities in analytic spaces, Birkhaeuser, 2006.
- Ю.Г. Прохоров, Особенности алгебраических многообразий, М.: МЦНМО, 2009.
- S. D. Cutkosky, Resolution of singularities, AMS, 2004.
Гомологические методы в современной алгебре
Лекторы: Алексей Игоревич Бондал и Александр Борисович Павлов
Занятия будут проходить по четвергам, ауд. 113 РТК, с 15:30 до 16:55 (лекция) и с 17:05 до 18:30 (семинар), начало - 12.09.
Предварительный список тем на осенний семестр 2024:
- Триангулированные категории и триангулированные функторы.
- Производные категории абелевых категорий.
- Когерентные и квазикогерентные пучки на схемах. Производные категории (квази)когерентных пучков.
- Производные функторы в алгебраической геометрии.
- Доказательство двойственности Гротендика-Вердье.

