Лектор: Владимир Сергеевич Жгун

Занятия будут проходить по средам, ауд. 524 Арктика, с 13:55 до 15:20 (лекция) и с 15:30 до 16:55 (семинар), начало - 18.09.

Курс представляет собой введение в фундаментальные понятия и методы современной алгебраической геометрии: схемы, пучки и когомологии. Владение этими понятиями необходимо для изучения более специальных разделов алгебраической геометрии и её приложений. В первом разделе мы познакомимся с понятиями аффинного и проективного спектра кольца, общей схемы, когерентного пучка, пучка дифференциалов. Будут описаны конструкции относительного спектра и раздутия пучка идеалов. Затем мы определим когомологии Чеха пучка на схеме и изучим их основные свойства. С помощью них будут проделаны так называемые Серровские вычисления для когомологий обратимых пучков проективного пространства. С помощью них мы получим двойственность Серра для когомологий, играющую важнейшую роль в алгебраической геометрии.

Мы изучим различные типы морфизмов между схемами, такие как отделимые, собственные, конечные, плоские, гладкие этальные. Мы введем понятие плоского семейства многообразий и пучков на них, важного для теории деформаций, и укажем их важные когомологические свойства, например, постоянство многочлена Гильберта. Мы обсудим фундаментальную теорему о полунепрерывности размерности слоев морфизма и полунепрерывности размерностей групп когомологий в семействах многообразий. Также мы постараемся обсудить теорему Безу, теорему Бертини об общем гиперплоском сечении и теорию пересечений.

В заключительном разделе курса акцент будет сделан на теории торических алгебраических многообразий. С одной стороны, это ознакомит слушателя с одним из важнейших для приложений классов алгебраических многообразий, а с другой послужит конкретной и относительно несложной иллюстрацией общих понятий, изученных ранее.

Основная литература.

1. Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия, М.: Мир, 1981.
2. W. Fulton, Introduction to toric varieties, Princeton University Press, 1993.

Лектор: Дегтярев Денис Олегович

Занятия будут проходить по четвергам, ауд. ауд. 108 РТК, с 12:20 до 13:45 (лекция) и с 13:55 до 15:20 (семинар), начало - 12.09.

В курсе будет рассказано про основные понятия и методы в современной алгебре. Курс будет сопровождаться примерами и задачами для самостоятельного решения.

Примерная программа курса:

(Теория групп)

• Общие понятия теории групп: действие на множестве, орбиты, стабилизатор; подгруппы, классы смежности, классы сопряженности; гомоморфизм, ядро и образ, нормальная подгруппа. Основные теоремы: формула разложения на орбиты, следствия из нее, теоремы о гомоморфизме.
• Силовские подгруппы и теоремы Силова. Строение конечнопорожденных абелевых групп.
• Коммутант, разрешимая группа, условия (не) разрешимости. Пример с группами S_n и A_n.
• Теория представлений конечных групп: полная приводимость, лемма Шура, характеры, соотношение ортогональность, теорема Бернсайда.

(Кольца и модули)

• Общие понятия теории коммутативных колец: гомоморфизм, идеалы; делители нуля, локализация; факториальные кольца; нетеровость. Основные теоремы: существование максимальных идеалов, китайская теорема об остатках, факториальность кольца главных идеалов, теорема Гильберта.
• Модули: основные определения, операции с модулями (факторы, тензорное/внешнее/симметрическое произведения); теорема Жордана–Гельдера; модули над кольцом главных идеалов («жорданова нормальная форма»); полупростые кольца и их представления.
• Некоторые вспомогательные алгебраические конструкции: гомологии, группа Брауэра, кольцо Гротендика.

Основная литература

• С. Ленг, Алгебра, М.: Наука, 1965.
• И.Р. Шафаревич, Основные понятия алгебры, Алгебра – 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 11, ВИНИТИ, М., 1986, 5 – 279.

Лектор: Илья Вячеславович Каржеманов

Занятия будут проходить по пятницам, ауд. 412 ГК, с 10:45 до 12:10 (лекция) и с 12:20 до 13:45 (семинар), начало - 13.09.

В курсе будет рассказано про основные понятия и методы дифференциальной геометрии. Курс будет сопровождаться примерами и задачами для самостоятельного решения.

Примерная программа курса:

• Тензоры и основные операции над ними.
• Дифференциальные формы, их внешнее произведение и дифференцирование, оператор *.
• Векторные поля и производная Ли.
• Гладкие многообразия (базовые понятия и объекты) и касательное расслоение.
• Регулярные значения и теорема Сарда.
• Степень отображения: гомотопическая инвариантность и приложения к векторным полям.
• Дифференциальные формы на многообразиях.
• Понятие связности (на тензорах). Примеры вычисления.
• Риманова метрика и понятие параллельного переноса.
• Тензор кривизны. Вычисление в случае симметричной и согласованной с метрикой связности.
• Некоторые тождества для тензоров кривизны и кручения. Примеры вычисления.
• Геодезические. Их вариационный смысл.
• Интегрирование дифференциальных форм. Теорема Стокса.
• Лемма Пуанкаре.
• Цепной комплекс. Сингулярные гомологии. Эйлерова характеристика.
• Когомологии и двойственность Пуанкаре.
• Начала теории пучков. Теорема де Рама.
• Умножение в когомологиях. Теорема Кюннета. Интерпретация через дифференциальные формы.
• Понятие векторного расслоения и операции над ними.
• Главное расслоение. Связь с гомотопическими группами. Классификация расслоений.
• Связность и параллельный перенос в расслоениях.
• Кривизна связности. Классы Чжэня.

Лектор: Дмитрий Анатольевич Степанов

Занятия будут проходить по четвергам, ауд. 108 РТК, с 13:55 до 15:20, начало - 12.09.

Курс посвящён теории особенностей алгебраических многообразий. С формально-локальной точки зрения гладкие точки алгебраических многообразий одинаковы, и наибольший интерес представляют точки, в которых гладкость нарушается, т. е. особые точки. Теория особенностей доставляют массу задач интересных как сами по себе, так и с точки зрения приложений к другим областям: классификации алгебраических многообразий, зеркальной симметрии и др. В данном курсе планируется познакомить слушателя со следующими аспектами теории особенностей.

Примерная программа курса:

1. Топологическая и аналитическая теория: расслоение и слой Милнора, число Милнора, монодромия.
2. Важные примеры: факторособенности по конечным группам, торические особенности, особенности, возникающие в программе минимальных моделей.
3. Проблема разрешения особенностей: понятие раздутия, вложенное разрешение, разрешение особенностей алгебраических кривых и поверхностей.

Основная литература:

1. Дж. Милнор, Особые точки комплексных гиперповерхностей, М.: Мир, 1971.
2. J. Seade, On the topology of isolated singularities in analytic spaces, Birkhaeuser, 2006.
3. Ю.Г. Прохоров, Особенности алгебраических многообразий, М.: МЦНМО, 2009.
4. S. D. Cutkosky, Resolution of singularities, AMS, 2004.

Лекторы: Алексей Игоревич Бондал и Александр Борисович Павлов

Занятия будут проходить по четвергам, ауд. 113 РТК, с 15:30 до 16:55 (лекция) и с 17:05 до 18:30 (семинар), начало - 12.09.

Предварительный список тем на осенний семестр 2024:

1. Триангулированные категории и триангулированные функторы.
2. Производные категории абелевых категорий.
3. Когерентные и квазикогерентные пучки на схемах. Производные категории (квази)когерентных пучков.
4. Производные функторы в алгебраической геометрии.
5. Доказательство двойственности Гротендика-Вердье.