Видеозаписи докладов: ссылка

Фото галерея: Google Drive

Практическая информация

C 1 по 5 июля 2024 в Центре Фундаментальной Математики МФТИ пройдет летняя школа "Классическая, производная и конденсированная геометрия". Курсы лекций прочитают Алексей Бондал, Вячеслав Шокуров, Крис Брав и Владимир Жгун. С докладами также выступят Сергей Гуминов, Александр Жеглов, Дмитрий Тимашёв, Борис Шойхет. Адрес проведения школы: Радиотехнический корпус МФТИ, Долгопрудный, Институтский пер. 9, стр. 1, аудитория 113.


Раписание

Время	Понедельник	Вторник	Среда	Четверг	Пятница
11:00 - 12:30	Брав	Брав	Жгун	Брав	Брав
12:30 - 14:00	Ланч
14:00 - 15:30	Жгун	Жгун	Жеглов	Бондал	Бондал
15:30 - 16:30	Чай
16:30 - 18:00	Гуминов	Шойхет	Тимашев	Шокуров	Шокуров

Аннотации курсов

Геометрия обильных и положительных векторных расслоений

Владимир Жгун

Обильные обратимые пучки на многообразиях играют важную роль в исследовании геометрии алгебраических многообразий. Например, для них выполняется теорема Лефшеца, описывающая когомологии множества нулей сечений таких пучков (гиперплоских сечений). Также в случае линейных расслоений теорема Кодаиры дает критерий обильности линейных расслоений в терминах положительности кривизны. В случае, векторных расслоений ситуация становится гораздо хитрее. Существует как минимум два понятия положительности по Гриффитсу и Накано, а также само определение обильности не является таким же естественным, как в случае линейных расслоений. В то же время, существует множество интересных геометрических свойств таких расслоений, которые мы обсудим.

Рефлексивные пучки на нормальных алгебраических многообразиях

Алексей Бондал

Рефлексивные когерентные пучки можно считать естественным обобщением векторных расслоений. Особенно хорошо они ведут себя на нормальных многообразиях. Будет рассказано как охарактеризовать рефлексивные пучки в категорных терминах и какие отсюда можно извлечь следствия. Кроме того, будет рассказано как восстанавливать нормальное многообразие из категории рефлексивных пучков. В случае нормальных поверхностей это позволяетстроить некоторую насыщенную модель поверхности. Такие модели можно охарактеризовать в геометрических терминах через компактификацию Нагаты и граничный дивизор. Все сопутствующие понятия будут объяснены на курсе. Также будут сформулированы открытые проблемы.

Конденсированная алгебраическая геометрия

Крис Брав

Удобный синтез анализа и гомологической алгебры уже давно необходим для приложений в аналитической геометрии, бесконечномерной алгебраической геометрии, теории представлений групп Ли и других разделах математики, в которых различные модули наделены своего рода ‘топологией’. Недавно Клаузен и Шольце ввели тензорную абелеву категорию "конденсированных абелевых групп", которая обладает превосходными формальными свойствами, а также содержит все классические топологические абелевы группы. Мы дадим краткое введение в эту теорию и обсудим некоторые ее приложения в геометрии.

Бирациональная геометрия трёхмерных расслоений на коники

Вячеслав Шокуров

В первой лекции будут обсуждаться конструкции стандартной и стандартной минимальной модели трёхмерного расслоения на коники. Вторая лекция будут посвящена вопросу о рациональности трёхмерных расслоений на коники.

Аннотации докладов

Введение в когомологии пересечений

Сергей Гуминов

Сингулярные когомологии гладкого проективного комплексного многообразия обладают рядом замечательных свойств, таких как двойственность Пуанкаре или теорема Лефшеца. Эти свойства пропадают при переходе к сингулярным многообразиям, и это привело Горески и Макферсона как определению когомологий пересечений. В докладе я введу эту теорию когомологий на языке производных категории пучков и сформулирую её основные свойства, что приведет нас к изучению категории превратных пучков, и покажу, как это связано, помимо прочего, с разрешениями особенностей сингулярных многообразий.

Спектральные пучки на спектральных алгебраических многообразиях

Александр Жеглов

Спектральные пучки на спектральных алгебраических многообразиях возникают как часть алгебро-геометрического описания различных коммутативных колец операторов, встречающихся в теории квантовых интегрируемых систем. Без ограничения общности спектральные многообразия можно считать проективными неприводимыми и Коэно-Маколеевыми, а спектральные пучки фиксированного ранга образуют открытое подмножество в пространстве модулей когерентных пучков без кручения с фиксированным полиномом Гильберта. Для многих приложений необходимо иметь явную параметризацию таких пучков. Мы дадим краткий обзор таких параметризаций в случае спектральных многообразий размерности один и два. Мы планируем обсудить параметризацию Тюрина полустабильных расслоений на кривых, «матричнозадачный» подход Бурбана и Дрозда для параметризации пучков Коэна-Маколея и недавний подход автора с помощью нормальных форм. Будут объяснены все необходимые математические понятия и сформулированы соответствующие открытые проблемы.

Многообразия минимальных рациональных касательных и алгебры Ли, связанные с вложенными проективными многообразиями

Дмитрий Тимашёв

В геометрии многообразий Фано важную роль играют рациональные кривые. Минимальные (т.е. не вырождающиеся в неприведённые или приводимые кривые) рациональные кривые в известной степени аналогичны геодезическим на римановых многообразиях. Однако, в отличие от геодезических, через точку общего положения, вообще говоря, нельзя провести минимальную рациональную кривую в произвольном направлении. Совокупность допустимых направлений образует многообразие минимальных рациональных касательных (VMRT) в проективизованном касательном пространстве к точке общего положения. Из работ Ч.-М. Хвана, Н. Мока и др. следует, что геометрия многообразий Фано с числом Пикара 1 во многом контролируется их VMRT. В некоторых случаях можно однозначно восстановить многообразие Фано по VMRT через дифференциально-геометрическую структуру, исходным элементом которой является алгебра Ли символов фильтрованной системы распределений в касательном расслоении, порождённой VMRT. Подобная алгебра Ли может быть построена по произвольному вложенному проективному многообразию и заслуживает исследования как новый алгебраический инвариант проективных многообразий. Эти сюжеты планируется обсудить в докладе.

Подход к доказательству Swiss Cheese гипотезы Концевича

Борис Шойхет

Цепная операда Swiss Cheese позволяет определить что значит что 2-алгебра действует на 1-алгебре. (Под n-алгеброй здесь понимается алгебра над цепной операдой маленьких дисков в размерности n). Концевич в 1999 сформулировал гипотезу, утверждающую что при фиксированной 1-алгебре A, гомотопическая категория категории, объекты которой определяются как пары (B,A) где B 2-алгебра действующая на 1-алгебре A, и морфизмы определяются как отображения 2-алгебр согласованные с действием на A, имеет финальный элемент. На самом деле, этот финальный элемент есть (с точностью до квазиизоморфизма) когомологический комплекс Хохшильда 1-алгебры A, и это дает внутреннее определение комплекса Хохшильда, со структурой 2-алгебры на нем. Эта гипотеза была сформулирована. Концевичем для любого n, она была доказана Дж. Томасом в 2010. Доказательство очень непростое и непрозрачное. В этом докладе будет предложено альтернативное доказательство, хоть и работающее пока только для n=1 (то есть это утверждение про действие 2-алгебр на 1-алгебры). Она основано на (а) нашей конструкции скрученного тензорного произведения малых дг категорий, и (б) общем концептуальном подходе Батанина к гипотезе Swiss Cheese для высших категорий, представленном им в докладе 2011 года. С другой стороны, наше доказательство работает не только для дг алгебр но и для малых дг категорий.