Практическая информация

C 6 по 10 июля 2026 в Центре Фундаментальной Математики МФТИ пройдет летняя школа "Категорные конструкции в геометрии". Курсы лекций прочитают Сhris Brav, Наталия Даурцева, Надежда Тимофеева, Yingdi Qin. Кроме этого, доклады сделают Александр Белавин, Boris Shoikhet и Anya Nordskova.


Раписание

Время	Понедельник	Вторник	Среда	Четверг	Пятница
11:00 - 12:30	Yingdi Qin	Yingdi Qin	Yingdi Qin	Chris Brav	Chris Brav
12:30 - 14:00	Обед
14:00 - 15:30	Надежда Тимофеева	Надежда Тимофеева	Надежда Тимофеева	Наталья Даурцева	Chris Brav
15:30 - 16:00	Чай
16:00 - 17:30	Anya Nordskova	Александр Белавин	Наталья Даурцева	Boris Shoikhet	Наталья Даурцева

Аннотации курсов

Interiors and boundaries in noncommutative geometry

Christopher Brav (SIMIS, Shanghai, China)

Noncommutative spaces admit a rich internal geometry in terms of recollements/open-closed decompositions of their categories of sheaves. In particular, one can define the notion of open subcategory with compact support, and define the interior of a noncommutative space as the maximal open subcategory with compact support. For a non-proper noncommutative space, the interior is typically a proper subcategory, and it is reasonable to define the `boundary at infinity’ of the noncommutative space to be the complementary closed subcategory. For nice noncommutative spaces with orientation of dimension d in appropriate sense, we show that the boundary at infinity inherits an orientation of dimension d-1. We illustrate these ideas with examples from representation theory (in particular cluster categories), algebraic geometry (in particular singularity categories), rigid analytic geometry (so-called punctured tubular neighborhood of infinity), and topology (including a definition of the category of sheaves on the classical boundary at infinity). This is based on joint work with Y. Gao and Y. Qin.

Почти эрмитова геометрия

Наталия Даурцева (НГУ, г. Новосибирск, Россия)

Курс познакомит слушателей с базовыми понятиями почти эрмитовой геометрии. Я планирую начать с базовых конструкций, порождаемых комплексной структурой и эрмитовой метрикой на вещественном чётномерном векторном пространстве. Затем мы перейдём к геометрии многообразий, рассмотрим примеры почти комплексных многообразий, обсудим вопрос интегрируемости почти комплексной структуры (теорему Ньюлендера — Ниренберга) и классификацию почти эрмитовых структур по Грэю — Хервелле.

Особое внимание планируется уделить шестимерной сфере. Мы рассмотрим почти комплексную структуру, которая возникает на ней естественным образом при вложении в R^7, поговорим о том, какие свойства этой структуры мешают ей быть комплексной, обсудим результат Клода Лебрена, и близкий к нему результат Г. Бора и Л. Эрнандеса-Ламонеды о неинтегрируемости ортогональных почти комплексных структур на «круглой» и «почти круглой» сфере, а также поговорим об одной неопубликованной работе С.С. Черна.

Кроме того, я планирую рассказать о последних результатах, касающихся почти эрмитовых структур кооднородности 1 на 6-мерной сфере.

Уплощающие преобразования и кручения когерентных пучков на алгебраических схемах

Надежда Тимофеева (ЯрГУ, г. Ярославль, Россия)

Будут рассмотрены основные моменты общей задачи "как сделать когерентный пучок плоским?":
-- уплощающая стратификация для когерентного пучка на схеме;
-- уплощающая стратификация как представимый функтор;
-- преобразование схемы, приводящее к плоскому пучку: теорема М.Рейно об уплощении и её функториальная версия по Д. Риду;
-- строгий прообраз когерентного пучка; -- что является разумным аналогом подпучка кручения в задачах подобного рода, если базисная схема нецелая.

Introduction to Noncommutative Geometry

Yingdi Qin (SIMIS, Shanghai, China)

Noncommutative geometry studies a geometric space X through its associated category of sheaves. More generally, a dualizable stable category—up to Morita equivalence—is defined as a noncommutative space. Motivated by the classical geometry of schemes, foundational properties such as smoothness and properness can be extended to this setting. To distinguish between different noncommutative spaces, additive invariants such as Hochschild homology and Hochschild cohomology serve as powerful tools. Furthermore, for certain special noncommutative spaces, additional geometric structures such as orientations and Calabi-Yau structures naturally emerge.

In this talk, we illustrate the core concepts of noncommutative geometry by focusing on the concrete example of sheaves on a locally compact Hausdorff space. Along the way, we will introduce essential techniques in the field, with a particular emphasis on recollements/open-closed decompositions.

Аннотации докладов

Свободно-полевая конструкция D=4 мерной гетеротической струны, компактифицированной на многообразия Калаби-Яу типа Берглунда-Хубша в комбинаторном подходе Батырева-Борисова.

Александр Белавин (МФТИ, г. Долгопрудный, Россия)

Известно, что 4-мерная теория гетеротической струны позволяет построить Единую теорию, объединяющую квантовую гравитацию с теорией сильных, электромагнитных и слабых калибровочных взаимодействий.

Четырехмерные гетеротические струнные модели являются произведением фермионной струны, компактифицированной на шестимерное многообразие Калаби-Яу, и бозонной струны, дополнительные измерения которой также компактифицированы на шестимерное многообразие Калаби-Яу и на тор алгебр Ли E(8)xSO(10).

Мы обобщаем эту конструкцию в рамках струнно-ковариантного подхода на все многообразия Калаби-Яу типа Берглунда-Хубша, используя точно - решаемую конструкцию свободного поля. Эта конструкция основана на комбинаторном подходе Батырева-Борисова.

Исходя из зеркальной пары решеток Батырева для данного многообразия CY, мы строим множество физических операторов вершин в виде когомологий Борисова, соответствующих точкам рефлексивных многогранников Батырева.

Мы показываем, как число супермультиплетов 27 и синглетных представлений алгебры E(6) Ли определяется данными рефлексивных многогранников Батырева, которые определяют это CY-многообразие.

Метод свободного поля позволяет явно вычислять корреляторы, а также характеры и функции распределения соответствующих N=2 супер - конформных моделей и проверять, выполняются ли требования модульной симметрии.

What do dg categories form?

Boris Shoikhet (МИРАН, г. Санкт-Петербург, Россия)

The question ``What do dg categories form'' was posed by V.Drinfeld, meaning that they form a weak 2-category in some sense, when a homotopy invariant local categories [C,D] are considered. D.Tamarkin found a solution, in which he considered as the local category [C,D] the category Coh_dg(C,D), whose objects are dg functors from C to D, and whose morphisms are A_\infty natural transformations. He managed to employ simplicial methods to construct a contractible 2-operad, performing a weak 2-categorical structure. A point was that it was not an answer to the original question, as Coh_\dg(C,D) is only partially homotopically invariant, for a cofibrant C. One has to replace it by another category, A_\infty(C,D), whose objecrs are A_\infty functors from C to D, and whose arrows are A_\infty natural transformations, which enjoys the full homotopy invariance. We succeed to construct a contractible 2-operad for this case, by completely different methods. In this talk, I explain the construction. It is based on a joint paper with D. Kuzakov.

Spherical objects and spherical twists in algebraic geometry

Anya Nordskova (Kavli IPMU, Tokyo, Japan)

Spherical objects and their associated twist functors play an important role in the study of derived categories in algebraic geometry. This talk will give an introductory overview of several contexts in which they arise naturally. We will discuss examples and results, including very recent ones, concerning the classification of spherical objects as well as their behaviour in different geometric settings.